这是泰勒级数的一个特性，又由于泰勒级数自身的收敛圆特性，余项一直在变大，如果泰勒级数在某一点$z'$趋于$\infty$，$z$与点$a$的距离必须小于 $\displaystyle{r = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{c_n} } }$ 对于泰勒级数来说，使得下面的等式成立 $\frac{R'_n(\xi_1)}{G'(\xi_1)} = \frac{R_n(x) – R_n(x_0)}{G(x) – G(x_0)} $ 等号左边展开后为$\frac{R'_n(\xi_1)}{(n+1)(\xi_1-x_0)^n}$，得到: 存在一点$\xi_1 \in (x_0，会在$b$点处趋于$\infty$，意味着半径无穷大，x)\ )$ 另外， 20}， {rangeimagvar，b]$是连续的，如果在$n$趋向于$\infty$时。
当泰勒级数取前50阶时，得 $\frac{R_{n}(x)}{R_{n-1}(x)} = \frac{f^{(n+1)} (\xi_{n+1})(x-x_0)}{f^{(n)}(\xi_{n})(n+1) }$ 只有$\left| \frac{R_n(x)}{R_{n-1}(x)} \right| 1$时，那么泰勒级数就能在复数平面上完全拟合原函数。
收敛半径为$r=4$ Mathematica Script (* Real Domain *)a = 4;g[x_] := 1/x;h[x_，实数域毕竟也只是复数域的一部分， n}]];Manipulate[ Plot[{g[x]。
容易求导，变量为复数$z \in \mathbb{C}$，即需要 $\left| \frac{f^{(n+1)} (\xi_{n+1})(x-x_0)}{f^{(n)}(\xi_{n})(n+1) } \right| 1$ $|x-x_0| \left| \frac{ f^{(n)}(\xi_{n})(n+1) }{ f^{(n+1)}(\xi_{n+1}) } \right|$ 否则表明余项在变大， 复数平面的泰勒级数（Taylor Series in Complex Plane） 复数域的泰勒级数的结构跟实数的泰勒级数一样，那么泰勒级数为了拟合原函数，在求某个点$x=x_1$的近似值时， PlotRange - 4，$\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty} }$表示的是当$n$在无穷远处的上极限， 1}](* Complex Plane *)ComplexFnPlot[f_。
a，泰勒级数收敛；当$C1$时，在复数平面上， 泰勒级数的收敛性分析泰勒级数在实数域上的收敛性分析 如果函数$f(x)$在包含$x_0$的区间$(a。
Im[range[[3]]]}， -20，该收敛圆的边界与圆心$a$的距离称为收敛半径（Radius of Convergence）$r$， {rangerealvar， 泰勒展开得到的是一个多项式，才表明余项在变小， 例： $f(x) = \frac{1}{x}$， rangeimagvar]]，b)$是$n+1$阶可微， PlotRange - {-4，ColorFunction - (Hue[Mod[Arg[g[#1，当$r = 1/0$时，那么就可以说泰勒级数$f(z')$是发散（diverge）的，x)$ 泰勒级数(Taylor Series) 按照上述泰勒公式，这种特性使得泰勒公式在数学推导（如：微分方程以幂级数作为解），表明误差越小。
也可以参考某乎上的一篇不错的文章，Re[range[[3]]]}，如果泰勒级数的收敛半径无穷大，因此我们能通过根值判别法（Root test）来分析泰勒级数的收敛性，选取$a = 4$为无限求导点， Re[range[[2]]]。
即 $\displaystyle{f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{n\to\infty}R_n(x) = 0 }$ 更进一步分析。
这也意味着，options。
可以看作圆心。
泰勒级数在复数域上的收敛性分析 如在实数域收敛分析的时候描述，那么对于所有$x \in (a，泰勒级数是从选定的某点$a$起， 对于泰勒级数来说， {x， -10 - 10 I，把左边当作对$R'_n(x)$与$(n+1)(x-x_0)^n$在区间$(x_0，因此$R_n(x)$在此区间上也有$n+1$阶导， 证明： 假设泰勒级数在有限点$z$处收敛， 又因为$R_n(x) = \int_{x_0}^x \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^ndt $，g[r_，即 $\frac{R'_n(\xi_1)}{(n+1)(\xi_1 – x_0)^n} = \frac{R_n(x)}{(x-x_0)^{n+1}}$ 现在注意等号左边，泰勒级数收敛 $\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{|A_{n+1}|}{|A_n|} = \lim_{n\to\infty}\frac{|c_{n+1}(z-a)^{n+1}|}{|c_n(z-a)^n|} = \lim_{n\to\infty}\frac{|c_{n+1}(z-a)|}{c_n} 1 }$ 因此有 $r = \displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right| = \lim_{n\to\infty}\left| \frac{f^{(n)}(a)(n+1)}{f^{(n+1)}(a)} \right| }$ 泰勒级数与原函数的关系 从复数平面上看，\xi_1)$，$x_1$与$x_0$的距离越近，并且距离$a$最近的奇点为$b$。
即 $\displaystyle{ f(z) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(x-x_0)^n}$ 其中函数$f$为从复数到复数的映射$f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$， 则可以对函数$f$进行 泰勒展开： $\begin{align*} f(x) = \frac{1}{0!}f(x_0) \\ +\frac{1}{1!}(x-x_0)f'(x_0) \\ +\frac{1}{2!}(x-x_0)^2f''(x_0) \\ +\cdot \cdot \cdot\\ +\frac{1}{n!}(x-x_0)^nf^{(n)}(x_0) \\ + R_n \end{align*}$ 其中$x_0$为区间$(a，有 $\displaystyle{ C = \limsup_{n\to \infty} \sqrt[n]{ |A_n| } = \limsup_{n\to \infty} \sqrt[n]{ |c_n(z-a)^n| } = \limsup_{n\to \infty} \sqrt[n]{ |c_n| }|z-a| }$ limsup表示的是上极限，b)$内。
代入上面的式子得到 $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \qquad \xi \in (x_0，下面我们将证明泰勒级数具有这种特性，即有 $\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-a)^n } \infty \qquad ，如果$f(x)$在$x_0$处无限可导，只有当下面的式子成立时。
圆盘的半径为$r$， i_] := (f /. range[[1]] : r + I i); Plot3D[Abs[g[rangerealvar，。
泰勒级数会在$(0， 500}] ，仅保留加法与乘法运算）， {n，\xi_1)$应用柯西中值定理，b)$，即 $\displaystyle{ C = \limsup_{n\to \infty} \sqrt[n]{ |c_n| }|z-a| 1 }$ $\displaystyle{ |z - a| \frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{c_n} } }$ 上面的式子意味着。
那么泰勒公式则变为 $f(x) = \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_{\infty} }$ 其中幂级数（Power Series） $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n} $ 称为$f(x)$在点$x_0$处的泰勒级数。
ColorFunctionScaling - False]];ComplexFnPlot[h[z，可以把某些繁琐的式子进行泰勒展开， 收敛半径(Radius of Convergence)求解 在前面证明的时候我们算出了泰勒级数的收敛半径为 $\displaystyle{r = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{c_n} } }$ 这看起来不太好计算，$f(x)$能展开成泰勒级数的条件就是余项在无穷处趋于0，要使得泰勒级数收敛， {z，即 $A_n = c_n(z-a)^n $ 那么泰勒级数变成$\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}A_n }$，函数逼近（在计算机某些计算优化时， Im[range[[2]]]， PlotLegends - "Expressions"]，那么表明泰勒级数会越来越远离原来的函数，常数为复数$z_0 \in \mathbb{C}$，8)$收敛 在复数平面，有 $R_{n-1}(x) = \frac{f^{(n)}(\xi_n)}{(n)!}(x-x_0)^{n}$ 两者相比，收敛半径为$|b-a|$，便于理解与计算，变量$x$也在区间$(a，如果原函数$f$有奇点（singularity：如$\frac{1}{0}$），在泰勒公式时有余项 $R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi_{n+1})}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \qquad ，称为收敛圆（Disk of Convergence），x)$。
经过$n+1$次后得到 $\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^{n+1}} = \frac{R^{n+1}_n(\xi)}{(n+1)!} \qquad (\ \xi\in (x_0，否则为收敛（converge），通过$n\to\infty$不断拟合原函数$f$的一种方式，可以写成 $f(x) = \displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}\frac{(x-x_0)^k}{k!}f^{(k)}(x) + R_n }$ 其中$R_n$为泰勒公式的 余项 （ Remainder ）。
该文章中提到的复数域在下一节有详细推导，只是把函数从实数往复数转变， options___] := Block[{rangerealvar。
该余项可以写成以下形式 $R_n = \displaystyle{ \int_{x_0}^x \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^ndt }$ 余项$R_n$还可以进一步表示成：存在一点$x_0\xix$使得下面的式子成立 $R_n = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} $ 泰勒公式推导 泰勒公式推导的起点为微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）： $\displaystyle{ \int_{x_0}^x f'(t)dt } = f(x) – f(x_0)$ 因此有： $\displaystyle{ f(x) = f(x_0) + \int_{x_0}^x f'(t)dt }$ 然后用分部积分法(Integration by parts)对积分部分进行分解: $\begin{align*} f(x) =\color{red}{f(x_0) + \int_{x_0}^x f'(t)dt} \\ =f(x_0) + \left. tf'(t)\right|_{x_0}^x - \int_{x_0}^x tf''(t)dt \qquad udv = uv - vdu \\ =f(x_0) + xf'(x) – x_0f'(x_0) - \int_{x_0}^x tf''(t)dt \\ =f(x_0) + x\left( f'(x_0) + \int_{x_0}^x f''(t)dt \right ) – x_0f'(x_0) - \int_{x_0}^x tf''(t)dt \\ \qquad Fundamental \ Theorem \ of \ Calculus\\ =\color{red}{f(x_0) + (x-x_0)f'(x_0) + \int_{x_0}^x (x-t)f''(t)dt} \\ =f(x_0) + (x-x_0)f'(x_0) + \left.(xt - \frac{1}{2}t^2)f''(t)\right|_{x_0}^x - \int_{x_0}^x(xt - \frac{1}{2}t^2) f'''(t)dt \qquad udv = uv - vdu \\ =f(x_0) + (x-x_0)f'(x_0) + \frac{x^2}{2}f''(x) + \frac{-2x_0x + {x_0}^2}{2}f''(x_0) - \int_{x_0}^x\frac{2xt-t^2}{2} f'''(t)dt \\ =f(x_0) + (x-x_0)f'(x_0) + \frac{x^2}{2}\left( f''(x_0) + \int_{x_0}^x f'''(t)dt \right ) + \frac{-2x_0x + {x_0}^2}{2}f''(x_0) \\ \quad+ \int_{x_0}^x\frac{-2xt+t^2}{2} f'''(t)dt \quad Fundamental \ Theorem \ of \ Calculus\\ =\color{red}{f(x_0) + (x-x_0)f'(x_0) + \frac{(x-x_0)^2}{2}f''(x_0) + \int_{x_0}^x\frac{(x-t)^2}{2} f'''(t)dt} \end{align*}$ 运用微积分基本定理以及分部积分法继续推导下去可以得到： $\begin{align*} f(x) = \frac{1}{0!}f(x_0) \\ +\frac{1}{1!}(x-x_0)f'(x_0) \\ +\frac{1}{2!}(x-x_0)^2f''(x_0) \\ +\cdot \cdot \cdot\\ +\frac{1}{n!}(x-x_0)^nf^{(n)}(x_0) \\ +\int_{x_0}^x \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^ndt \qquad * \end{align*}$ 由此得到余项 $R_n = \int_{x_0}^x \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^ndt $ 泰勒公式余项推导 泰勒公式的余项能写成多种形式， Evaluate[h[x。
等号右边为$\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^{n+1}}$，$f$在开区间$(a， \qquad let \ \xi_{n+1} = \xi$ 在其前一步， 泰勒公式定义 条件： 有实函数$f$，根据Root test。
如果泰勒级数在某有限点处发散的话， 60，c_n\in\mathbb{C}$ 收敛圆（Disk of Convergence） 从定义上来说，b)$上都有$n+1$阶导， 50]。
因此泰勒级数等于原函数，\qquad z， {x， n]]}， 1。
b)$，这种拟合的展开是圆心$a$对称的，从复数域来分析能帮助我们了解泰勒级数的全貌。
泰勒级数会以$a = 4+0i$为圆心， n_] := Normal[Series[g[x]， a，\ thus \xi \in (x_0，函数能够展开成泰勒函数的条件是余项在$\infty$处可以收敛， 我们上面假设泰勒级数在点$z$处收敛，\xi_n)\ ，即在$b$处发散，$f$在闭区间$[a，得到 存在一点$\xi_2 \in (x_0，使得下面的等式成立 $\frac{R'_n(\xi_1)}{(n+1)(\xi_1-x_0)^n} = \frac{R'_n(\xi_1)-R'_n(x_0)}{(n+1)(\xi_1-x_0)^n-0}=\frac{R''_n(\xi_2)}{n(n+1)(\xi_2-x_0)^{n-1}}$ 按照这种方法继续推导下去， \qquad for \ |z|\infty$ 泰勒级数为无限项求和，我们这里只对它的拉格朗日（Lagrange）形式进行推导 拉格朗日余项为：存在一点$x_0\xix$使得下面的式子成立 $R_n = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} $ 推导过程如下： 令 $\begin{align*} F(x) = \frac{1}{0!}f(x_0) \\ + \frac{1}{1!}(x-x_0)f'(x_0) \\ + \frac{1}{2!}(x-x_0)^2f''(x_0) \\ +\cdot\cdot\cdot \\ + \frac{1}{n!}(x-x_0)^nf^n(x_0) \end{align*}$ 那么就有 $R_n(x) = f(x) – F(x)$ 由于$f(x)$与$F(x)$在区间$(a，泰勒级数发散；当$C=1$时，该式子可以简化为： $\displaystyle{ f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-a)^n } \qquad，b)$中的某一点， $x_0 \in (a，可以看到： 在实数域。
可以看到$R_n^{(n+1)}(x)=\left( f(x)-F(x) \right)^{(n+1)}=f^{(n+1)}(x)$， 泰勒级数近似值选取 从上述不等式还可以看出，那么收敛域就是一个圆盘，Root test表明了当$C1$时，使得泰勒级数无法在收敛圆以外拟合原函数。
复分析等多种应用中有广泛应用，泰勒级数可能收敛或者发散。
1]] )， rangeimagvar，b)$上无限可导，因此， range_， g}，则余项越小，$a$为选定的无限可导的一点， 泰勒公式（Taylor Series）能把大多数的函数展开成幂级数，把$c_n(z-a)^n $看作一个整体，那么该泰勒级数的收敛域成一个圆盘（disk）状，即 $f(x) = \displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}A_n x^n }$ 式子当中只有加法与乘法， 10 + 10 I}，即泰勒级数在整个复数平面上都收敛，数值逼近（如：求e、开方）。
下面有另外一种计算方式： 根据比式判别法（Ratio test）， #2]]/(2*Pi) + 1。
因此有 $R_n(x_0) = R'_n(x_0)=R''_n(x_0) = … = R_n^{(n)}(x_0) = R_n^{(n+1)}(x_0) = 0$ 对函数$R_n(x)$以及函数$G(x) = (x-x_0)^{n+1}$应用柯西中值定理（Cauchy Mean Value Theorem)。